Blog do Professor Vanito: Matemática Financeira

Conceitos

Montante: é a soma do capital (Principal) com o juro relativo ao período de aplicação. Sua fórmula é $S = C + j$ ou $S=C(1+i \times n)$
Juro Composto: é aquele que, a partir do segundo período financeiro é calculado sobre o Montante do período anterior. O Juro é composto quando a cada período os juros são incorporados ao Principal e o novo Principal passa também a render juros. Fórmula: $J=C \times ((1+i)^n-1)$
Taxas Equivalentes: fazem com que o Capital produza o mesmo Montante, no final do mesmo prazo de aplicação.
Valor Atual: chama-se valor atual de um compromisso futuro à determinada taxa de juros, ao capital que, se colocado a render jurosàquela taxa, a partir da data de hoje, atingiria um montante igual ao valor nominal do compromisso, em sua data de vencimento.
Desconto: é a diferença entre o valor nominal (valor indicado no título |valor no vencimento|) e o valor atual (valor do título antes do vencimento).
Desconto Racional (por dentro): é o equivalente ao juro simples produzido pelo valor atual no período correspondente, à taxa fixada.
Desconto Comercial (por fora): é o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal no período correspondente, à taxa fixada.
Capitalização: é a remuneração de determinado capital durante um intervalo de tempo.

Conceitos básicos

Quando você vê em uma propaganda: "Compre uma televisão à vista por R$ 1 mil ou a prazo em 5 parcelas de R$ 260,00" Você, claro, responde: "A prazo, pois prefiro pagar parcelado, em poucas vezes por mês, e em apenas 5 meses eu acabo de pagar."

Mas você esqueceu de pensar em um "detalhe": 5 parcelas de R$ 260,00 perfazem o equivalente a R$ 1.300,00 – que é 30% a mais do que a oferta á vista (R$ 1.000,00). São em situações como essas que você percebe como a matemática financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimento ou financiamento de bens de consumo. Ela consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira.

Algumas definições são interessantes para incrementar os conhecimentos sobre Matemática Financeira.

Assim, temos que o JURO, é uma compensação que se oferece à pessoa que emprestou o dinheiro, pela privação que esta pessoa está sofrendo durante o período em que ficou sem aquele capital.

Capital

Que originou a transação ou qualquer valor expresso em moeda que uma pessoa concorda em ceder a outro, temporariamente, geralmente cobrando juros. Aquele que cede é chamado de investidor e aquele que recebe é chamado tomador. Exemplo: “O investidor emprestou o capital ao tomador”

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como:Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.

Período

Toda transação financeira deve necessariamente prever quando (datas de início e do término da operação) e por quanto tempo (duração da operação) se dará a cessão (o empréstimo) do capital. Este prazo deve estar expresso em determinada unidade de tempo (que pode ser:dia, mês, bimestre, trimestre, semestre, ano, etc.).

Exemplo: O investidor emprestou durante 3 anos o capital ao tomador.

Montante

Montante é o valor emprestado ao tomador acrescido dos juros cobrados. Dessa forma, se é emprestado R$ 1.000,00 com juros de R$ 300,00, o montante é de R$1.300,00

Exemplo: “O investidor emprestou durante 3 anos o capital ao tomador, e recebeu um montante de 30% a mais do que emprestou”

Fórmulas Matemáticas

Conforme observamos no início, a Matemática Financeira pode nos auxiliar no estudo financeiro, a partir desse ponto utilizaremos a seguinte notação:

C ou P= capital ou principal;
J = juro;
i = taxa de juro;
M = montante;
n^{[nota 1]} = número de períodos.

Exemplo: $M = C + J$

Juros

Juro é uma remuneração ou taxa cobrada sobre algum recurso emprestado. Ele pode ser cobrado de duas formas: simples e composto.

Juros simples

Os juros são sempre calculados sobre o valor inicial da transação, não importando o montante final e o período.

A formula para juros simples é:

$J = P \times i \times n\,$

Exemplo: Um homem tem uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. (ao mês) pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que o homem pagará serão:

$J = 1000 \times 0.08 \times 2 = 160\,$

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante (M), de 1160,00 no caso.

Assim, temos que Juros simples é uma proporção ao capital inicial e ao tempo em que se utilizou este capital.

O juro (j) é (=) uma proporcionalidade (i) ao capital inicial (c) e ao tempo (t).

A proporcionalidade (i) é denominada de taxa de juros racional simples e é definida como a razão entre o juro obtido e o produto do capital inicial pelo tempo em que foi utilizado.

J = C x I x T;

M = C + J

M = C x ( C x I x T);

M = C x ( 1 + [I x N]);

Uma pessoa aplicou um capital de R$ 2.500,00 no regime de juros simples por um período de 10 meses e obteve no final um montante de R$ 3.250,00. Pede-se, calcular a taxa mensal de aplicação, ou seja, i.

Capital = c = $ 2.500,00 Tempo = t = 10 meses Montante= m = $ 3.250,00 Taxa = i =

logo, J = M - C

J = $ 3.250,00 - $ 2.500,00 = $ 750,00

E, J = C x I x T

$ 750,00 = $ 2.500 x i x 10
i = $ 750,00 / ( $ 2.500,00 x 10) = 75 / 2500 = Dividir numerador e denominador por 25 e, ao final temos:

i = 3/100 = 3%

A taxa procurada é de 3% ao mês.

Juros compostos

Os juros de cada período de tempo é calculado sobre o saldo no início do período anterior. Ou seja:os juros de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

A formula para juros compostos é:

$M = C \times (1 + i)^t\,$

Exemplo: Um homem empresta R$1000 com juros de 10%, no outro mês deverá R$1100, e no próximo R$1210, R$1331 e etc. O juro é calculado sobre o montante principal mais os juros do período anterior.

$M = 1000 \times (1 + 0.10)^3 = 1331\,$

Taxa de juros

Taxa de juro é o valor do juro expresso como percentagem de determinado capital. A taxa de juro pode ser representada de duas formas:

Forma Percentual: 5%; 1,25%; 0,04%.

Exemplo: Dada uma taxa de “10%” ao ano, então a aplicação de $ 100,00, por um ano, gera um juro de $10,00.

Forma Unitária: 0,05; 0,0125; 0,0004

Exemplo: Dada uma taxa de “0,10” ao ano, então a aplicação de $ 100,00, por um ano, gera um juro de $10,00.

Problema Clássico de financiamento

O problema clássico de financiamento possui as 6 variáveis listadas abaixo

Sigla em Inglês	Sigla em Português	Extenso em Inglês	Extenso em Português
pv	vp	present value	valor presente
fv	vf	future value	valor futuro
nper	nper	number of periods	número de períodos
pmt	pgto	payment	pagamento (valor da prestação)
rate	taxa	interest rate	taxa de juros
type	tipo	0 (default), se postecipada, 1 se antecipada	0 (default), se postecipada, 1 se antecipada

A taxa de juros (rate) com que trabalhamos é relacionada a um período, em geral mensal ou anual. Dada a taxa (rate), pode-se calcular a variável auxiliar

k

como mostrado na fórmula abaixo. Quando a taxa é zero (sem juros),

k = 1

$k=\frac{1}{1+taxa}$

O problema postecipado é o mais comum. Para esse problema, vale a figura ao lado.

Para calcular vp, basta observar que ele é a soma de cada parcela de valor pmt trazida a uma taxa de juros rate pelos períodos 1, 2, ..., nper:

$\mbox{vp} = \sum_{n = 1}^\mbox{nper} \frac {\mbox{pgto}} {(1 + \mbox{taxa})^n}\,$

Aplicando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, chega-se a:

$\mbox{vp} = \frac {\mbox{pgto}} {\mbox{taxa}} \ (1 \ - \ \frac {1} {(1 + \mbox{taxa})^\mbox{nper}})\,$

Notas

↑ n indica o número de períodos ao qual os juros são aplicados. Exemplo: se a taxa é de 1% a.m., o período (n) é o número de meses que uma taxa de juros foi aplicada sobre o montante.

Desdobramentos da formula de juros:

FV = PV*(1+i)^n

PV = FV/(1+i)^n

i = [(FV/PV)^1/n]-1

n = log(FV/PV) / log(1+i)

Ligações externas

Calculadora Financeira On-line - Versão on-line das principais fórmulas financeiras do Excel e OpenOffice Calc.
Calculadora de Amortização - Calcula o pagamento dos juros e do principal bem como o acumulado dos juros e pagamentos.
Calculadora HP-12C Virtual

Referência Bibliográfica

Wikilivros - Matemática Financeira

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segunda-feira, 6 de setembro de 2010

Matemática Financeira